Hexapawn 六兵棋：3×3 棋盘上白方必败，专为火柴盒「机器学习」而生

一个只有六个兵的「国际象棋」

Hexapawn 是马丁·加德纳（Martin Gardner）在 1962 年 3 月《科学美国人》「数学游戏」专栏上介绍的一种确定性两人棋类，后来收入他的文集《The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions》。

在 n×m 的棋盘上，双方各持 m 枚兵，摆在自己最近的那一行。3×3 棋盘上就是每方 3 枚兵：白方在第一行 a1、b1、c1，黑方在第三行 a2、b2、c2。

规则

棋子只有兵，走法也只有两种：

• 直进一格，目标格必须为空；
• 斜进一格吃子，即吃掉左前方或右前方斜对的敌方兵。

和国际象棋不同，Hexapawn 的兵不能第一步走两格，也没有吃过路兵和升变——把兵走到底线就直接获胜。

胜负判定有两种：把任意一个兵送到底线即胜；或者让对手无子可动（即「逼和」局面），也算赢。

3×3 已经被解出来了

3×3 的 Hexapawn 是一个完全解出的游戏：双方都走最优时，白方必败，而且只撑三步。

主变是这样的：

1. b2 axb2（白方进中路兵，黑方用 a 列兵斜吃）
2. cxb2 c2（白方用 c 列兵吃回，黑方把 c 列兵推进到次底线）
3. a2 c1（白方只能进 a 列兵，黑方把兵走到底线）

三步，终局。先手方在完美应对下毫无机会——这在棋类里相当罕见，也正是加德纳刻意追求的。

它为什么被设计出来

加德纳设计 Hexapawn 的目的不是让人对弈，而是演示机器学习。

1960 年代初，唐纳德·米基（Donald Michie）造了一台用火柴盒组成的井字棋学习装置 MENACE（Matchbox Educable Noughts and Crosses Engine）：每个可能出现的局面配一个火柴盒，盒里放着代表各种合法走法的彩色珠子；机器按盒中珠子的比例随机选择走法，输了就减少相应珠子，赢了就增加。经过反复对局，这堆火柴盒会「学会」下棋。

问题在于井字棋的局面数太多，演示起来太笨重。Hexapawn 的游戏树被压缩到极小——3×3 版本只需要 24 个火柴盒就能覆盖所有可能局面，一台机械装置就能完整演示「从不会下到会下」的全过程。

变体

Octopawn。 棋盘扩到 4×4，双方各 4 枚兵。与 3×3 相反，4×4 版本是先走方（白方）的必胜局。

Dawson's Chess。 在 3×N 的 Hexapawn 上追加一条「吃子强制」的规则，就得到 Thomas Rayner Dawson 在 1935 年提出的 Dawson's chess。这个游戏在组合博弈论里很有名：它在 Conway 记号下等价于 .137，可以化归为类似 Nim 的取子游戏——每回合可以从一堆中取走 1 至 3 个，取走 1 个仅当这堆只剩 1 个，从 5 个以上的堆中取走 3 个时还可以把剩下的分成两堆。它的 nim 序列在若干项后进入周期。

怎么下好它

由于 3×3 是完全解出的，人机对战意义不大，但作为思维训练很有价值：

• 中路兵是关键。 主变里白方走 b2 立刻被吃，说明中路兵看似主动，实则是突破口。
• 斜吃优先于推进。 能吃就吃不仅减子，还直接改变双方兵列的对位关系。
• 盯住底线距离。 胜负常常取决于谁先把兵送到对方底线，而不是谁吃得多。
• 逼和也是赢。 让对手一个兵都动不了，和自己走到底线是等效的胜法，这一点很容易被忽略。

Hexapawn 的价值在于它用最少的材料讲清了一件事：一个规则简单到三句话就能说完的游戏，其最优解也可能与直觉完全相反。